定本 解析概論

今でも「解析概論」と呼ばれ広く知られている. 高校生からでも読めるし中学生も読むらしい.内容は初歩から初めていて読みやすい. 多変数関数の微分は１変数の場合と並行している第1, 2章で述べられている. 第3章の１変数関数の積分に続いて, 第4章で, 第5章の複素関数論の前に, 無限級数と冪級数・無限積・一様収束性を扱うため, 複素関数論を短くまとめられている. その後に多変数関数固有の微分と積分を述べて, 前半と分けているのは読者への負担を軽くするためであろう.式番号が「講義をしている時と同じような付け方」なのは, はじめての人にやさしい. 論理の飛躍や行間は「読み物」として書いた部分では少ない. 図説が多く読みやすい.多くの数学者が「代数が専門の割には良くかけている」「やはり代数が専門だから内容が甘い」など多くの意見があるように, 内容に不備がたまにあっても, 数学の本の誤りを発見する実力を身に付けながら, 実解析と複素関数の知識と経験を積むために読むのも, この本に固有な読み方だろう. それもいいのではないかと思う. 前書きも著者の事情も当時の時代背景も見ると悪い面は許容すべきである.私が見た限りでは, 数列の極限の例として挙げられている lim_(n→∞)(a^n)/n!＝0(∀a＞0) の証明と実数の連続性についての考察においてアルキメデスの原理を暗黙の了解で使用していること, 公理的測度論において全体集合の可測性を仮定していないこと, ルベーグ積分の構成に不可欠な「Ｒの開集合は(互いに連結していない複数の)開区間(の和集合)である」こと(※)の証明の誤り, がある. アルキメデスの原理が「実数の連続性の公理に含まれる」(意訳すると下限の存在からアルキメデスの原理が出る)ことの証明は, 後の積分法の章の始めに, 古代の求積法の紹介の最後にある. 上限の存在によるアルキメデスの原理の証明も, 何か間違えていないかと考えていた. また「zの有限な値に対して」指数関数の値は 0 にならないと述べているが, リーマン球面を定義していない(無限遠点 ∞ を定義していない)ので明確な意味は無い. 「zの値が無限大」であることは, リーマン球面 Ｃ∪∞ において意味を持つ. ここでは単に |z_n|→∞ となる点列 z_n⊂Ｃ に対する関数値 exp(z_n) を論外とすることを意味するのだろう.しかし私としては, 何を伝えたいかは正確に伝わってきたし, 書き方が, 詳しいけれど冗長でもなく語りかけるようなものであって(前書きを意訳すると, 専門書の書き方と, 文庫本の書き方をうまく融合させて)解析の土台の実数論も書いてあるから, 結局は読んでいて楽しかった. 事実の本質は見抜いている. 序章と付録の, 実数論(位相的な話と実数の構成などの部分)だけでも, 読む価値がある. 私が読んだ限り, この本の全体で「解析学読本」の論理に矛盾はなかった.やはり多くの微分積分の本の手本とされてきたくらいであり, 微分積分の使用者向けの本より詳しく, 初等的な実解析と複素関数論の入門事項が分かるので, 表記や述べ方に古い面が少しあるくらいで読む価値は下がらない. フーリエ級数の章があるのは, 出版された時代には「微分積分の本で基礎をまとめた本はこの本しかなかった」らしく, 微分積分の使用者から必要とされたからだろう.初等関数の定義は, 読本としての読みやすさのために, 級数の理論を展開してから, log, sin を積分により定義して, このふたつから exp, cos をみちびき, これらを冪級数に展開して, 実変数を複素変数に取り替えて, 冪級数で定義し直している. ここも読み甲斐があった. なお, 先に初等関数を定義しないことは,「解析入門Ⅰ」と同じく, 例として挙げるけれど論理展開には用いないので問題は無い.最終章の測度論と積分論は述べ方も記法も古くて, ルベーグ積分を述べる前の測度論に不備がある. 今は現代的に書かれた本(「ルベーグ積分入門」「実解析入門」「新版 ルベーグ積分と関数解析」「ルベーグ積分論」「新訂版 数理解析学概論」など)を選ぶほうがいい. しかし, ひとつだけ良い所がある. ルベーグによる元々の積分の定義との同値性を証明している. 明確に言及までしているのは, この本だけだろう.高木関数について, 原論文を工夫して読みやすく分かりやすくした解説があり, 容易に安価に手に入る高木関数(定義域全体で微分不可能な連続関数)の資料としても貴重であろう.私は最初, 改訂第3版を図書館で借りて読んでいた. 当時は絶版であった. しかし或る日の帰り道で本屋に寄ったら, この本があった. うれしくなってすぐさま買った. 版を重ねてきた今では, 改訂第3版にあった誤植や増えた誤植はかなり訂正された.(※) 2016年5月4日加筆：実軸(数直線)Ｒ＝Ｒ^1に含まれる自由に与えた空でない開集合Sに対して, 開集合の定義により, 任意の点x_0∈Sとx_0を含みSの中に有る開区間〈a_0 , b_0〉が存在する.〈a_0 , b_0〉に入っていない点x_1∈Sが有れば(〈a_0 , b_0〉を充分小さくして有るようにもできる)Sの点x_1を含みSの中に有る開区間〈a_1 , b_1〉が存在する.〈a_0 , b_0〉と〈a_1 , b_1〉が交わる(ようにできる)なら〈a_0, b_1〉を作り,〈a_2 , b_2〉と書くことにする. x_1が無ければ〈a_0 , b_0〉はSであるか, x_1が有っても〈a_0 , b_0〉と〈a_1 , b_1〉のどちらもSでないなら〈a_1 , b_1〉と〈a_0 , b_0〉は互いに交わらないSの部分集合であるから, 両者の和集合 O_1 がSの部分集合であり, Sに等しく成り得る. Sに等しくないなら,〈a_0 , b_0〉と〈a_1 , b_1〉 , 或いは〈a_2 , b_2〉に入っていない点x_2∈Sが存在してx_2を含みSの中に有る開区間〈a_3 , b_3〉が存在する.〈a_2 , b_2〉と〈a_3 , b_3〉が交わるなら〈a_2 , b_3〉を作り〈a_4 , b_4〉と書くことにする. x_2が無いなら O_1 が既にSに等しく, x_2が有ってもどれもSと等しくないなら O_1 と〈a_3 , b_3〉は互いに交わらず, O_1 と〈a_3 , b_3〉の和集合 O_2 または O_1 と〈a_4 , b_4〉の和集合 O_3 がSの部分集合であり, Sに等しく成り得る.任意の回数kに対してO(k)に入っていない内点x_k∈Sが有るならx_kを含む(k＋1)個目の開区間〈a_(k＋1) , b_(k＋1)〉を作ることができる. 0回目から(k＋1)回目までに現れた(k＋2)個の開区間の和集合 O_(k＋1) ＝ ∪_(i＝0, … , k＋1)〈a_i , b_i〉がSに等しくないなら,〈a_(k＋1) , b_(k＋1)〉に入っていない内点x_(k＋1)∈Sが有ってx_(k＋1)を含みSの中に有る開区間〈a_(k＋2) , b_(k＋2)〉が存在する.〈a_(k＋2) , b_(k＋2)〉と〈a_(k＋1) , b_(k＋1)〉は交わるか交わらないか片方に定まる. 交わらないなら O_(k＋2) を作り, 交わるなら O_(k＋3) を作る. どちらもSでないなら(k＋2)回目に同じ操作をする.任意の自然数 j に対して追加の(k＋j)回の同じ操作が許される. 結局S ＝ ∪_(ℓ＝0, 1, 2, 3, … )〈a_ℓ , b_ℓ〉以外に起こりえない. もちろん任意の回数ℓに対して各々の開区間〈a_ℓ , b_ℓ〉は互いに交わらない. もし有限回(n回)の操作でSに等しくなれば(O(n)＝Sとなれば)m＞nに対して〈a_m , b_m〉は空集合とすればよい. すなわち実数全体の集合Ｒの開(部分)集合は互いに交わらない開区間の(可算個の)和集合である.ご参考になれば幸いです。読んでいただきありがとうございました。(2019年11月12日最終推敲)